Cami: Ora riusciamo a vedere chiaramente tutto! Noto ancora una volta che i numeri ”casuali” sono tutti compresi tra 0 e 1, in più ho anche delle osservazioni riguardo la somma e il prodotto di tali numeri: la somma è sempre più grande dei suoi addendi, essendo essi sempre positivi, perciò anch’essa è sempre positiva; inoltre noto dalla seconda riga che può essere anche maggiore di 1, perciò può anche non appartenere all’intervallo [0,1]. Il prodotto invece è sempre minore dei valori iniziali ed è sempre positivo, entrambe queste due osservazioni mi portano dunque ad affermare che il prodotto appartiene sempre all’intervallo di partenza [0,1].
Memole: Fantastico, sei proprio brava! Che altro osservi?
Cami: Ora… ho trovato delle funzioni (somma e prodotto), dipendenti dai miei valori iniziali, che mi restituiscono sicuramente valori più grandi e più piccoli (rispettivamente) dei miei dati casuali di partenza.
Memole: Beh raccontiamolo ad AI. Vediamo cosa ci dice.
Cami: AI, come dicevo, abbiamo scoperto che la somma e il prodotto di due numeri casuali, compresi tra 0 e 1, sono rispettivamente più grandi e più piccoli dei miei numeri di partenza.
AI : Ma sei capace di visualizzarlo?
Cami: Visualizzarlo?
AI : Sì, ho detto proprio questo.
Cami: Ho capito, come al solito non mi dirai nulla di più… Beh per visualizzare qualcosa forse dovrei crearmi un’immagine ”mentale”, giusto?
AI : Sì.
Cami: Beh, potrei considerare i miei numeri ”casuali” come estremi di un intervallo… la loro somma e il loro prodotto non appartengono dunque a questo intervallo. AI, ma tu sai anche cos’è che potrebbe sicuramente essere contenuto al suo interno?
AI : Io? Che domande, ovvio che lo so! E tu?
Cami: Fammici pensare… Qualcosa sicuramente all’interno di un intervallo… Ma certo, la sua metà! Quindi, se chiamo a il primo numero e b il secondo, il ”punto medio” dell’intervallo – che sarà sicuramente contenuto – sarà $\dfrac{a + b}{2}$ .
AI: Ti è nuova questa forma?
Cami: In effetti questa forma mi ricorda qualcosa… Ah si, la media aritmetica!
Memole: Perché non mettiamo anche la media nel foglio di calcolo!
Cami: Hai ragione! Costruiamo una nuova colonna e la chiamiamo ”Media Aritmetica”. Come prima inseriamo la funzione…
Memole: Quale?
Cami: =A+B/2… Ma come mai non vedo nulla? Ah si, ci siamo scordati di premere invio!
Memole: Ecco a te!

Cami: Ciò che abbiamo fatto alla fine è stato prendere la somma di due numeri, che era più grande di entrambi, e riportarla nell’intervallo dividendola per due… Sarà possibile far qualcosa del genere anche con il prodotto, che è invece sempre più piccolo?
Memole: Mi sembra una bella domanda da porre ad AI…
AI: Sì, esiste un altro tipo di media, detta media geometrica, che tra due numeri e calcolata come la radice quadrata del prodotto dei due.
Memole: Facciamo una colonna anche per questa!
Cami: Va bene Memole!
Memole: Ecco qui:

Cami: Wow! Funziona!
Memole: Allora ricapitolando: ”Dati due numeri qualsiasi a e b prodotti da Ran#, la radice quadrata del loro prodotto ($\sqrt{ab}$) e la metà della loro somma $\dfrac{a + b}{2}$ sono sempre contenute nell’intervallo [a,b].”
Cami: Non pensavo che tutti i numeri compresi tra 0 e 1 avessero questa proprietà, è meraviglioso! AI, visto che scoperta?
AI : Pff, che ”scoperta”… L’umanità è a conoscenza di questa proprietà da secoli… Comunque, il tuo risultato è giusto, ma c’è di più, vale addirittura per tutti i numeri positivi! Altro che la tua di scoperta…
Cami: Come al tuo solito sei sempre cosı indisponente AI, pensi di sapere tutto!
AI : Ma io so tutto!
Cami: Vabbeh, lasciamo perdere… Ora però son curiosa… Quale delle due medie è più grande? Ovviamente entrambe sono interne all’intervallo [a,b], ma saranno diverse! Dalla tabella osservo che la media geometrica è più piccola di quella aritmetica.
Memole: Dunque: ”la media geometrica tra due numeri è sempre minore della media aritmetica tra gli stessi”.
Cami: Aspetta un attimo Memole… Ma questo è sempre vero? AI, cosa ne pensi?
AI : Sì, è vero, ma ricordati che la media geometrica esiste solo tra numeri positivi! Eccoti una piccola dimostrazione della vostra congettura. Prima però, con l’ausilio di Memole, fai questa costruzione geometrica: costruisci due segmenti, AB e BC. Le lunghezze di questi due segmenti rappresenteranno i tuoi numeri di partenza. Fa’ in modo che i tre punti A, B e C siano allineati. Sia D il punto medio di AC e costruisci la perpendicolare ad AC passante per D. Essa incontrerà la semicirconferenza nel punto E. Ora, costruisci la semicirconferenza di diametro AC e la perpendicolare ad AC passante per B, chiamiamola s. Interseca s con la semicirconferenza, ottenendo così il punto G. Costruisci ora il triangolo ACG: questo triangolo e inscritto in una circonferenza e insiste su un diametro, dunque è un triangolo rettangolo.
Memole: Ho eseguito tutti i comandi, ecco qui quel che ottengo:

AI : Ora… La media aritmetica è rappresentata dal raggio della semicirconferenza, nel nostro caso il segmento ED. La media geometrica è rappresentata invece dal segmento GB. Come puoi notare GB, qualsiasi siano le misure di partenza di AB e BC, sarà sempre più piccolo di ED. L’unica eccezione è quando AB e BC sono di egual misura: in quel caso le due medie saranno uguali.
Cami: Interessante, quella aritmetica è sempre più grande… Ma come mai GB rappresenta la media geometrica?
AI : Per il teorema di Euclide, ovviamente! AGC è un triangolo rettangolo in G e GB è l’altezza relativa alla base AC. Dunque $GB^2 = AB \times BC$. Da questo, possiamo ricavare: $GB = \sqrt{ AB \times BC}$
Cami: Chiaro! Assomiglia proprio all’espressione della media geometrica.
AI : Ma certo, non solo ci somiglia, è proprio quella!
Cami: Ma ora sono curiosa… Ogni volta posso restringere il mio intervallo iniziale, prendendo come estremi la mia media geometrica e quella aritmetica. Il mio nuovo intervallo potrà mai diventare così piccolo da essere solamente un punto, cioè i due estremi coincideranno mai?
Memole: Credo di avere una funzione anche per questo…
Cami: Fammi controllare i vari Menu… RUN-MATRIX no, GRAPH potrebbe… ma vediamo prima cos’altro c’è… RECURSION, interessante… e se usassimo delle formule ricorsive? Che dici Memole?
Memole: Che grande idea! Sai io sono anche in grado di mostrarti una schermata grafica!
Cami: Okay, proviamo allora! Apro il Menu RECURSION. Per prima cosa imposto i valori iniziali e scrivo le formule ricorsive… Ma come si fa?
Memole: Cosa vuoi fare di preciso?
Cami: Ad ogni passo, vorrei che la media geometrica diventasse l’estremo inferiore dell’intervallo, mentre la media aritmetica l’estremo superiore… E così via. In questo modo l’intervallo si dovrebbe stringere ad ogni passo!
Memole: Bravissima, ci sei! Prova a trasformare in formule questo pensiero, così posso digerirle pure io!
Cami: Allora… Facciamo due formule ricorsive, una per la media aritmetica e una per la media geometrica… Devo solo esser brava a far incastrare le due! Quindi, voglio una formula che al ”passo successivo” utilizzi i valori trovati nel ”passo precedente”.
Memole: Nel mio libretto di istruzioni parlano di indici… Strano, noi calcolatrici non abbiamo le mani!
Cami: Memole, sei un genio! Ovviamente le calcolatrici non hanno dita, gli indici vengono utilizzati per indicare il passo della formula al quale ci troviamo! Sono dei numerini che si mettono in basso, mi sembra di aver imparato questo oggi a scuola. Allora… Nel tuo Menu utilizza n… Ma che cos’è?
AI : Il passo generico, l’ennesimo! Scusatemi, ero rimasta accesa e non ho potuto far a meno di rimediare ai vostri sciocchi e umani errori!
Cami: Grazie AI! Quindi, se ne il passo generico, il passo successivo sarà n+1! Se ora denoto con $a$ le medie aritmetiche e $b$ quelle geometriche, con un po’ di lavoro, dovrei ottenere questo:
$a_n+1 = a_n + b_n$ e $b_{n+1} =\sqrt{a_n b_n}$
Memole: Ecco qui!

Cami: Ops! Memole mi stavi quasi per cadere! Che sciocca ho premuto F5, cos’è questa schermata strana?

Memole: Ecco ciò di cui ti parlavo prima, il grafico dei valori! Hai selezionato GPH-CON, grafico continuo!
Cami: Io comunque questa schermata non la capisco molto…
Memole: Magari AI e capace di spiegarcela!
AI : Certo che ne son capace, avevate dubbi? Avete impostato il passo uguale ad 1, perciò dovete considerare solo i valori con ascissa intera. L’asse orizzontale rappresenta proprio il passo della formula ricorsiva, mentre quello verticale il valore effettivo che le medie assumono.
Cami: Allora… La linea azzurra rappresenta la media aritmetica, quella rossa quella geometrica. Da qui si vede molto bene che la nostra congettura di prima e vera! Ad ogni passo sono sempre più vicine, ma la relazione che intercorre tra le due non cambia. Inoltre sembra davvero che le due medie prima o poi si sovrappongano, significa che i valori prima o poi saranno uguali!